Substituční metoda

Vydáno dne 9. 2. 2011 v kategorii Reálná analýza; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 6 999

Úvod do substituční metody při počítání integrálů

Substituční metoda

Tato metoda spočívá v zavedení nové proměnné do integrálu, díky které bude integrál lehčí vypočítat. Integrál $\int f(g(x))\mathrm{d}x$ nahradíme integrálem $\int f(t)$ , kde t=g(x) . Není to ovšem celé, musíme diferenciál dx vyjádřit pomocí diferenciálu dt. Upravený integrál spočítáme a nakonec nahradíme zpět za proměnnou t.

, kde

8) Spočítejte $\int\frac{1}{x+4}\mathrm{d}x$ .

Příklad budeme pochopitelně řešit pomocí substituce. Substituovat bychom mohli více věcí, ale v tomto případě si nejvíce pomůžeme, pokud položíme substituci t = x + 4 .

To pravé umění spočívá v tom, najít, jaká substituce se nám hodí nejvíce. V tomto příkladě se nám integrál po substituci zjednodušil na tabulkový integrál a nakonec jsme pouze dosadili za t.

Nezapomínejte na tabulkový integrál $\int\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|x|$ . Využijete ho často.

Spočítejte: $\int (2x-3)^{10}\mathrm{d}x$ .

Určete $\int\frac{x}{x^4+1}\mathrm{d}x$ .

Metoda per partes

Spočítejte $\int \arctan{x}\mathrm{d}x$ .

Zintegrujte funkci $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ .

Parciální zlomky

Spočítejte $\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\mathrm{d}x$

Substituční metoda