Analytická geometrie - Směrnicová rovnice přímky

Směrnicová rovnice přímky

Toto vyjádření přímky je založené na funkcích. Měli byste vědět, že grafem lineární rovnice je právě přímka a předpis lineární funkce je f: y=ax+b. Takto můžem vyjádřit skoro všechny přímky, až na ty, které jsou rovnoběžné (nebo totožné) s osou y.

Množina všech bodů X[x; y], jejichž souřadnice vyhovují rovnici y=kx+q, je přímka, která je různoběžná s osou y. Tato rovnice se nazývá směrnicová rovnice přímky. Číslo k se nazývá směrnice.

Na předchozím obrázku jste si mohli prohlédnout geometrický význam proměnné q. Proměnná q určuje, kde přímka protne osu y. Proměnná k, neboli směrnice, určuje sklon přímky.

Jak získat směrnicovou rovnici?

Postupů, jak získat směrnicovou rovnici přímky je více. Dle mého je nejlehčí získávání z obecné rovnice a proto tak taky začneme:

1) Napište směrnicový tvar přímky p: 2x+5y-1 = 0.

Získání směrnicové rovnice z obecné je opravdu jednoduché. Stačí vyjádřit y a je to:

p: 2x+5y-1 = 0
2x-1 = -5y

V této rovnici je směrnice k rovna a proměnná q je rovna .

2) Najděte směrnicový tvar přímky p dané body A[-1; 2], B[11; -6].

Tento případ je trochu těžší. Jelikož směrnicová rovnice má tvar y = kx + q, musíme nalézt dvě proměnné (k, q). Abychom toho dosáhli, tak sestavíme dvě rovnice o dvou neznámých:

y = kx + q
Dosadíme bod A:
2 = -1*k+q
Dosadíme bod B:
-6 = 11*k+q
Spočítáme soustavu:
2  = -1k+q
-6 = 11k+q

Po vyřešení této soustavy rovnic dojdeme k výsledku a proto je směrnicová rovnice přímky p: .

3) Určete směrnicovou rovnici přímky dané parametricky: p: x=-1+3t; y=2-2t.

Opět je více způsobů, jak získat směrnicovou rovnice přímky. Buď můžeme vytvořit obecnou rovnice přímky p a z ní již získáme směrnicový tvar lehce, nebo můžeme najít dva body o kterých se dá říci, že leží na přímce p a postupovat stejně jako v předchozím případě. Dle mého názoru je nejlehčí si vytvořit obecnou rovnici přímky:

p: x =  -1+ 3t; y = 2 - 2t
u = (3;-2) → směrový vektor
n = (2;3) → normálový vektor
2x + 3y + c = 0
c = -4
p: 2x+3y-4=0
Nyní vyjádříme směrnicový tvar:
y = ?

Význam směrnice

Nyní již umíme vyjádřit směrnicovou rovnici přímky, ale měli bychom si také říci, k čemu to je. Směrnice definuje odchylku přímky od kladné poloosy x.

Pokud máme směrnicovou rovnici y=kx+q, tak platí: k = tg α.

Rovnoběžnost přímek

Již z prvního obrázku je zřejmé, kdy jsou přímky dané směrnicovou rovnici rovnoběžné. Přímky jsou rovnoběžné pouze tehdy, platí-li, že se směrnice první přímky je rovna směrnici druhé přímky.

Kolmost přímek

Jak zjisti, zda jsou přímky kolmé se může zdát trochu těžší, ale není tomu tak. Řešení najdeme pomocí obecného řešení. Mějme přímky p, q, o kterých můžeme říci, že jsou kolmé:

p: y=kx+q
q: y=k'x+q'
Upravíme rovnice:
y-kx-q   = 0
y-k'x-q' = 0

Někdy na začátku tohoto kurzu o analytické geometrii jsme se učili, jak se poznají kolmé vektory. Přímky jsou kolmé, pokud jejich skalární součin jejich směrnicových (popř. normálových) vektorů je 0. Musí tedy platit:

-k*(-k')+1*1=0
k*k' = 1

Z poslední rovnice vyjádříme k' a máme výsledek. Aby byli přímky se směrnicemi k1, k2 kolmé, musí platit .

Příklady

Základní teorii již máte za sebou. Nyní se můžete beze strachu vrhnout na příklady!

4) Napište směrnici k přímky p: y=kx-1, víte-li, že přímka prochází bodem A[1;3].

Toto je jeden z nejlehčích příkladů, které můžete dostat. Stačí dosadit souřadnice bodu A do rovnice:

p: y=kx-1
A[1;3]
3=1*k-1
k=4

5) Napište směrnicový tvar přímky q, která prochází bodem A[3;1] a je rovnoběžná s přímkou p: y=3x-1.

O rovnoběžnosti přímek jsme si něco před chvíli říkali, ale radši to zopakuji. Přímky jsou rovnoběžné, pokud jsou jejich směrnice totožné. Přímka q tedy bude mít předpis y=3x+q. Chybí spočítat proměnnou q. Její hodnotu získáme dosazením bodu A:

y=3x+q
1=9+q
q=-8
q: y=3x-8

6) Napište směrnicový tvar rovnice přímky q, která prochází bodem A[2; -√2] a je kolmá k přímce .

Opět bude platit to, co jsme si před chvílí řekli o kolmosti přímek. Musí tedy platit .

Směrnice přímky q je: 
Rovnice tedy bude vypadat takto:

Dosadíme bod A:

Vypočtením předešlé rovnice dojdeme k výsledku, že q=0 a proto bude směrnicový tvar přímky q vypadat takto: .