Vzájemná poloha přímek a průsečík přímek

Dvě přímky v rovině jsou buď různoběžné (mají právě jeden společný bod, průsečík), rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod), nebo totožné (splývají). Rozhodují směrové vektory: když jeden není násobkem druhého, jsou přímky různoběžné. Když násobkem je, stačí zjistit, jestli bod jedné přímky leží na druhé.

`\begin{gathered}p:\ X=P+t\cdot\vec{u} \\[6pt] q:\ X=Q+s\cdot\vec{v}\end{gathered}`

Průsečík přímek najdete tak, že souřadnice obou přímek položíte sobě rovné. Vznikne soustava dvou rovnic o dvou neznámých a její řešení dá průsečík. Nemá-li soustava řešení, jsou přímky rovnoběžné různé, a má-li jich nekonečně mnoho, jsou totožné.

Nejdřív to ukážeme na přímkách daných parametrickými rovnicemi, potom na obecné rovnici a směrnicovém tvaru. Na konci je vzájemná poloha přímek v prostoru, kde přibývá čtvrtá možnost, mimoběžky.

Tři možnosti vzájemné polohy přímek v rovině

Totožné přímky se někdy počítají mezi rovnoběžné, protože mají stejný směr. Proto se v úlohách píše „rovnoběžné různé“, když je potřeba je od totožných odlišit. Kolmé přímky nejsou čtvrtá možnost, jsou to různoběžky, které svírají pravý úhel. Jak se kolmost pozná, ukazuje článek Polohové úlohy v rovině.

Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi

Přímky `p(P,\ \vec{u})` a `q(Q,\ \vec{v})` jsou dané bodem a směrovým vektorem. Postup má dva kroky:

1. Jsou směrové vektory násobky? Hledáme číslo `k` takové, že `\vec{v}=k\cdot\vec{u}`. Musí vyjít stejné z obou souřadnic. Rychlejší je spočítat `u_1v_2-u_2v_1`: vektory jsou násobky právě tehdy, když je toto číslo nula.
2. Pokud jsou násobky, dosadíme bod `Q` do parametrických rovnic přímky `p`. Vyjde-li z obou rovnic stejné `t`, bod na přímce leží a přímky jsou totožné. Vyjdou-li dvě různá `t`, jsou rovnoběžné různé.

Pokud násobky nejsou, jsou přímky různoběžné a zbývá spočítat průsečík, viz další kapitola.

Příklad 1

Určete vzájemnou polohu přímek `p(P,\ \vec{u})` a `q(Q,\ \vec{v})`, kde `P[2;\ 3]`, `\vec{u}=(1;\ {-2})`, `Q[1;\ 0]` a `\vec{v}=(-2;\ 4)`.

Směrové vektory: `-2=k\cdot 1` dává `k=-2` a `4=k\cdot(-2)` dává také `k=-2`. Platí `\vec{v}=-2\vec{u}`, přímky jsou rovnoběžné nebo totožné. Kontrola druhým způsobem: `1\cdot 4-(-2)\cdot(-2)=0`.

Dosadíme bod `Q[1;\ 0]` do rovnic přímky `p`:

`\begin{aligned}1&=2+t &&\Rightarrow\ t=-1\\[4pt] 0&=3-2t &&\Rightarrow\ t=\tfrac{3}{2}\end{aligned}`

Dvě různé hodnoty `t`, bod `Q` na přímce `p` neleží. Přímky jsou rovnoběžné různé.

Příklad 2

Určete vzájemnou polohu přímek `p(P,\ \vec{u})` a `q(Q,\ \vec{v})`, kde `P[2;\ {-1}]`, `\vec{u}=(-1;\ 3)`, `Q[0;\ 5]` a `\vec{v}=(2;\ {-6})`.

Je `\vec{v}=-2\vec{u}`, směrové vektory jsou násobky. Dosadíme `Q[0;\ 5]` do rovnic `x=2-t` a `y=-1+3t`:

`\begin{aligned}0&=2-t &&\Rightarrow\ t=2\\[4pt] 5&=-1+3t &&\Rightarrow\ t=2\end{aligned}`

Obě rovnice dávají `t=2`, bod `Q` leží na přímce `p`. Přímky jsou totožné, jen zapsané jiným bodem a jiným směrovým vektorem.

Stejně dobře se dá ověřit, jestli je vektor `Q-P=(-2;\ 6)` násobkem `\vec{u}`. Je, `(-2;\ 6)=2\cdot(-1;\ 3)`, takže úsečka `PQ` leží ve směru přímky `p` a výsledek je stejný. Rovnoběžnost dvou vektorů ověří i kalkulačka kolmosti a rovnoběžnosti vektorů.

Průsečík přímek

Různoběžné přímky mají jeden průsečík `X`. Leží na obou přímkách, takže pro nějaké `t` je bodem přímky `p` a pro nějaké `s` bodem přímky `q`. Parametry musí mít různá jména, protože v průsečíku obvykle vyjdou různé hodnoty `t` a `s`.

Příklad 3

Určete vzájemnou polohu a průsečík přímek `p(P,\ \vec{u})` a `q(Q,\ \vec{v})`, kde `P[-1;\ 2]`, `\vec{u}=(2;\ 1)`, `Q[4;\ 0]` a `\vec{v}=(1;\ {-1})`.

Nejdřív směrové vektory: `2\cdot(-1)-1\cdot 1=-3` není nula, přímky jsou různoběžné. Parametrické rovnice:

`\begin{aligned}p:\ x&=-1+2t, & y&=2+t\\[4pt] q:\ x&=4+s, & y&=-s\end{aligned}`

Položíme sobě rovné `x` a zvlášť `y`:

`\begin{aligned}-1+2t&=4+s\\[4pt] 2+t&=-s\end{aligned}`

Z druhé rovnice je `s=-2-t`. Dosadíme do první:

`\begin{aligned}-1+2t&=4-2-t\\[4pt] 3t&=3\ \Rightarrow\ t=1,\ s=-3\end{aligned}`

Parametr `t=1` dosadíme do přímky `p`: `x=-1+2=1`, `y=2+1=3`. Průsečík je `X[1;\ 3]`.

Zkouška druhou přímkou: pro `s=-3` je `x=4-3=1` a `y=3`. Obě přímky dávají stejný bod, výpočet je v pořádku.

Kdyby soustava neměla řešení (vyšel by spor jako `0=5`), přímky by byly rovnoběžné různé. Kdyby vyšla rovnost `0=0`, byly by totožné. Soustava tak rozhodne o poloze sama, i když směrové vektory předem neporovnáte. Porovnání je ale rychlejší a hned řekne, co čekat.

Průsečík přímky dané parametricky a přímky dané obecnou rovnicí

Tohle je nejrychlejší kombinace. Parametrické rovnice `x(t)` a `y(t)` dosadíte do obecné rovnice druhé přímky a dostanete jednu rovnici s jednou neznámou `t`. Mohou nastat tři případy:

• vyjde jedno `t`: přímky jsou různoběžné, průsečík dostanete dosazením `t` do parametrických rovnic,
• vyjde spor, třeba `10=0`: žádný bod přímky nesplňuje rovnici, přímky jsou rovnoběžné různé,
• vyjde `0=0`: rovnici splní každý bod, přímky jsou totožné.

Příklad 4

Přímka `p` je dána rovnicemi `x=1+2t`, `y=-3+t`. Určete její polohu vůči přímkám `a:\ x+3y-7=0`, `b:\ x-2y+3=0` a `c:\ x-2y-7=0`.

Přímka `a`:

`\begin{aligned}(1+2t)+3(-3+t)-7&=0\\[4pt] 5t-15&=0\ \Rightarrow\ t=3\end{aligned}`

Průsečík je `[1+6;\ {-3}+3]=[7;\ 0]`. Zkouška: `7+0-7=0`.

Přímka `b`: `(1+2t)-2(-3+t)+3=10`. Parametr `t` se odečetl a zbyla rovnice `10=0`, která neplatí nikdy. Přímky `p` a `b` jsou rovnoběžné různé.

Přímka `c`: `(1+2t)-2(-3+t)-7=0`, tedy `0=0`. Platí pro každé `t`, přímky `p` a `c` jsou totožné.

Že `t` u přímek `b` a `c` zmizí, není náhoda. Směrový vektor `(2;\ 1)` je kolmý na jejich normálový vektor `(1;\ {-2})`, protože `2\cdot 1+1\cdot(-2)=0`. Přímky tedy mají stejný směr.

Průsečík dvou přímek daných obecnými rovnicemi

Přímky `a_1x+b_1y+c_1=0` a `a_2x+b_2y+c_2=0` jsou různoběžné, když `a_1b_2-a_2b_1\neq 0`. Průsečík je řešení soustavy dvou lineárních rovnic, třeba dosazovací nebo sčítací metodou. Je-li `a_1b_2-a_2b_1=0`, jsou rovnoběžné: totožné, když je jedna celá rovnice násobkem druhé i s absolutním členem, jinak rovnoběžné různé. Podrobně s tabulkou to rozebírá článek Obecná rovnice přímky.

Příklad 5

Najděte průsečík přímek `p:\ 2x+3y-12=0` a `q:\ x-y-1=0`.

Je `2\cdot(-1)-1\cdot 3=-5\neq 0`, přímky jsou různoběžné. Z druhé rovnice `x=y+1`, dosadíme do první:

`\begin{aligned}2(y+1)+3y-12&=0\\[4pt] 5y&=10\ \Rightarrow\ y=2,\ x=3\end{aligned}`

Průsečík je `X[3;\ 2]`. Zkouška: `6+6-12=0` a `3-2-1=0`. Stejný výpočet přes determinanty, se zkouškou, ukáže kalkulačka průsečíku dvou přímek. Zadávají se do ní obecné rovnice. U přímky dané parametricky si nejdřív spočítejte dva její body, pro `t=0` a `t=1`, a obecnou rovnici z nich vypíše kalkulačka přímky ze dvou bodů.

Směrnicový tvar: stačí porovnat k a q

U přímek `y=k_1x+q_1` a `y=k_2x+q_2` je poloha vidět hned:

• `k_1\neq k_2`: různoběžné,
• `k_1=k_2` a `q_1\neq q_2`: rovnoběžné různé,
• `k_1=k_2` a `q_1=q_2`: totožné.

Průsečík dostanete tak, že pravé strany položíte sobě rovné. Pro `y=2x-1` a `y=-x+5` je `2x-1=-x+5`, tedy `3x=6` a `x=2`. Pak `y=2\cdot 2-1=3` a průsečík je `[2;\ 3]`. Pozor jen na svislé přímky `x=c`, které směrnicový tvar nemají; ty je lepší zapsat obecnou rovnicí.

Přehled: jak rozhodnout podle tvaru zadání

Průsečík je ve všech případech řešení soustavy, kterou dají rovnice obou přímek dohromady.

Úlohy, ve kterých se průsečík hledá

Příklad 6: přímka bodem a průsečíkem

Napište parametrické rovnice přímky `z`, která prochází bodem `A[1;\ 3]` a průsečíkem přímek `p(P,\ \vec{u})` a `q(Q,\ \vec{v})`, kde `P[0;\ 1]`, `\vec{u}=(1;\ 0)`, `Q[-1;\ {-1}]` a `\vec{v}=(1;\ {-2})`.

Přímka `p` je vodorovná: `x=t`, `y=1`. Přímka `q`: `x=-1+s`, `y=-1-2s`. Z rovnosti `y` je `1=-1-2s`, tedy `s=-1`, a z rovnosti `x` je `t=-1+s=-2`. Průsečík je `X[-2;\ 1]`.

Směrový vektor přímky `z` je `X-A=(-3;\ {-2})`, nebo jednodušeji opačný `(3;\ 2)`:

`z:\ x=1+3r,\quad y=3+2r`

Zkouška: pro `r=-1` vyjde `[-2;\ 1]=X`, pro `r=0` bod `A`. Třetí parametr má zase jiné jméno, protože jde o třetí přímku.

Příklad 7: těžiště jako průsečík těžnic

V trojúhelníku `A[-2;\ {-1}]`, `B[3;\ 0]`, `C[2;\ 4]` najděte těžiště jako průsečík dvou těžnic.

Těžnice `t_a` vede z vrcholu `A` do středu `M` strany `BC`, těžnice `t_b` z vrcholu `B` do středu `N` strany `AC`. Střed úsečky je průměr souřadnic:

`\begin{gathered}M=\left[\dfrac{3+2}{2};\ \dfrac{0+4}{2}\right]=[2{,}5;\ 2] \\[10pt] N=\left[\dfrac{-2+2}{2};\ \dfrac{-1+4}{2}\right]=[0;\ 1{,}5]\end{gathered}`

Směrové vektory jsou `M-A=(4{,}5;\ 3)` a `N-B=(-3;\ 1{,}5)`. Desetinných čísel se zbavíme násobením: `(3;\ 2)` a `(-2;\ 1)`.

`\begin{aligned}t_a:\ x&=-2+3t, & y&=-1+2t\\[4pt] t_b:\ x&=3-2s, & y&=s\end{aligned}`

Z rovnosti `y` je `s=-1+2t`. Dosadíme do rovnosti `x`:

`\begin{aligned}-2+3t&=3-2(-1+2t)\\[4pt] 7t&=7\ \Rightarrow\ t=1,\ s=1\end{aligned}`

Těžiště je `T[1;\ 1]`.

Zkouška dvakrát. Těžiště je průměr souřadnic vrcholů: `\left[\frac{-2+3+2}{3};\ \frac{-1+0+4}{3}\right]=[1;\ 1]`. A dělí těžnici v poměru `2:1`: bod `T` odpovídá `t=1`, bod `M` hodnotě `t=1{,}5`, takže `|AT|:|TM|=1:0{,}5=2:1`.

Příklad 8: zkříží se trasy, srazí se lodě?

Loď A vyplouvá z bodu `[0;\ 0]` a za hodinu urazí vektor `(20;\ 10)`, loď B vyplouvá ve stejnou chvíli z bodu `[100;\ {-10}]` a za hodinu urazí `(-10;\ 10)`, souřadnice jsou v kilometrech. Kde se kříží jejich trasy a srazí se lodě?

Parametr je tu čas v hodinách. Trasa A je `x=20t`, `y=10t`, trasa B je `x=100-10s`, `y=-10+10s`. Pro průsečík tras dáme parametrům různá jména, protože lodě nemusí být v průsečíku ve stejnou dobu:

`\begin{aligned}20t&=100-10s\\[4pt] 10t&=-10+10s\end{aligned}`

Z druhé rovnice `s=t+1`, po dosazení `20t=90-10t`, tedy `t=3` a `s=4`. Trasy se kříží v bodě `X[60;\ 30]`.

Loď A je v bodě `X` za 3 hodiny, loď B až za 4 hodiny. Nesrazí se: když A projíždí bodem `X`, je B teprve v bodě `[70;\ 20]`, asi 14 km daleko. Srazily by se, jen kdyby vyšlo `t=s`. To je přesně důvod, proč se parametry dvou přímek nesmí jmenovat stejně: kdybyste psali u obou `t`, hledali byste srážku, ne průsečík tras.

Vzájemná poloha přímek v prostoru

V prostoru přibývá čtvrtá možnost: mimoběžky, přímky, které nejsou rovnoběžné a přesto se neprotínají, protože neleží v jedné rovině. Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje, přímky jsou dané parametricky a každá má tři rovnice. Postup je stejný jako v rovině, jen rovnice jsou tři:

1. Směrové vektory jsou násobky: přímky jsou rovnoběžné nebo totožné, rozhodne jeden bod.
2. Nejsou násobky: ze dvou rovnic spočítáme `t` a `s`, třetí ověříme. Platí-li, jsou přímky různoběžné, neplatí-li, jsou mimoběžné.

Například `p:\ x=1+t,\ y=t,\ z=2` a `q:\ x=2s,\ y=1+s,\ z=s`. Vektory `(1;\ 1;\ 0)` a `(2;\ 1;\ 1)` nejsou násobky. Z rovnic pro `x` a `y` je `1+t=2s` a `t=1+s`, tedy `s=2` a `t=3`. Třetí rovnice `2=s` platí, přímky jsou různoběžné s průsečíkem `[4;\ 3;\ 2]`. Kdyby byla přímka `q` posunutá na `z=1+s`, vyšlo by ve třetí rovnici `2=3` a přímky by byly mimoběžné.

Více příkladů a jak mimoběžky poznat, ukazuje článek Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou. Totéž bez souřadnic, jak se to rýsuje v krychli, popisuje Stereometrie - Vzájemná poloha přímek.

Časté chyby

• Stejné jméno parametru u obou přímek. Rovnice `-1+2t=4+t` místo `-1+2t=4+s` hledá bod, do kterého obě přímky „dojdou“ při stejné hodnotě parametru. Takový bod většinou neexistuje a vyjde nesmyslný spor nebo špatný bod. Příklad 8 ukazuje, že je to otázka na srážku, ne na průsečík.
• Prohlásit přímky za rovnoběžné jen podle směrových vektorů. Stejný směr mají i totožné přímky. Bez dosazení bodu je odpověď poloviční.
• Číslo `k` spočítané jen z jedné souřadnice. U vektorů `(2;\ 3)` a `(4;\ 5)` dává první souřadnice `k=2`, druhá ale `k=\frac{5}{3}`. Vektory nejsou násobky, přímky jsou různoběžné.
• Nula ve směrovém vektoru. U `\vec{u}=(0;\ 3)` se `k` z první souřadnice spočítat nedá, dělilo by se nulou. Číslo `u_1v_2-u_2v_1` funguje vždy: pro `(0;\ 3)` a `(0;\ {-5})` je `0\cdot(-5)-3\cdot 0=0`, obě přímky jsou svislé.
• Dosadit parametr do špatné přímky. Hodnota `t` patří do rovnic přímky `p`, hodnota `s` do rovnic přímky `q`. Dosazením obou dostanete zároveň zkoušku: musí vyjít stejný bod.
• U obecných rovnic porovnat jen `a` a `b`. Přímky `x-2y+3=0` a `2x-4y+6=0` jsou totožné, ale `x-2y+3=0` a `2x-4y+5=0` rovnoběžné různé. Rozhoduje i absolutní člen.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování soustav dvou rovnic: každý průsečík přímek je řešení takové soustavy.
• Procvičování parametrického vyjádření přímky: dosazování parametru do rovnic přímky.
• Kalkulačka průsečíku dvou přímek z obecných rovnic, s rozlišením rovnoběžných a totožných přímek, a převod rovnice přímky mezi tvary.
• Parametrické vyjádření přímky, Obecná rovnice přímky a Poloha bodu vůči přímce.
• Polohové úlohy v rovině: kolmice, pata kolmice a souměrně sdružený bod, kde se průsečík hledá v každém kroku.