Polorovina je část roviny ohraničená přímkou. Každá přímka p rozdělí rovinu na dvě opačné poloroviny, přímka p je jejich hraniční přímka. V analytické geometrii se to, ve které polorovině leží bod, pozná jediným dosazením: souřadnice bodu dosadíme do levé strany obecné rovnice přímky a podíváme se na znaménko výsledku.

`\begin{gathered}p:\ ax+by+c=0,\qquad X[x_0;\ y_0] \\[6pt] ax_0+by_0+c=0 \ \Rightarrow\ X \text{ leží na přímce } p \\[6pt] \text{stejné znaménko} \ \Rightarrow\ \text{stejná polorovina} \\[6pt] \text{opačná znaménka} \ \Rightarrow\ \text{opačné poloroviny}\end{gathered}`

Dva body tedy leží ve stejné polorovině, když po dosazení vyjdou obě čísla kladná, nebo obě záporná. Tím se dá rozhodnout, jestli bod leží v úhlu, v trojúhelníku nebo v mnohoúhelníku, a zapsat polorovinu nerovnicí.

Co je polorovina

Narýsujte přímku p a body A, B po jejích dvou stranách. Přímka rozdělí rovinu na dvě části. Ta, ve které leží bod A, se jmenuje polorovina pA a zapisuje se `\mapsto pA`. Ta druhá je polorovina `\mapsto pB` a obě jsou navzájem opačné. Když je hraniční přímka dána dvěma body, píše se například `\mapsto ABC`: polorovina s hraniční přímkou AB, ve které leží bod C.

ABpolorovina pApolorovina pBp

Hraniční přímka do poloroviny patří, takže body přímky p leží v obou opačných polorovinách zároveň. Když ji chceme vynechat, mluvíme o otevřené polorovině. Ve výkresu se polorovina vyznačí šrafováním nebo vybarvením té strany přímky, kde leží daný bod.

Úsečka spojující dva body téže poloroviny přímku p nepřetne. Úsečka mezi body opačných polorovin ji přetne vždy. To je i nejjednodušší způsob, jak polorovinu poznat od oka: bod X leží v polorovině pA, když úsečka AX nemá s přímkou p společný bod (kromě případného bodu X na přímce).

Polorovina se v geometrii objevuje pořád, jen se jí tak neříká: konvexní úhel je průnik dvou polorovin, trojúhelník je průnik tří a každý konvexní mnohoúhelník je průnikem tolika polorovin, kolik má stran.

Poloha bodu vůči přímce dosazením do rovnice

Bod, který na přímce leží, splňuje její obecnou rovnici: po dosazení vyjde nula. Bod mimo přímku dá číslo různé od nuly a jeho znaménko říká, na které straně přímky bod je.

Příklad 1

Přímka `p:\ x-y=0` prochází počátkem a bodem `[1;\ 1]`. Leží body `A[0;\ 2]`, `B[2;\ 0]`, `M[4;\ 7]` a `N[5;\ 3]` ve stejné polorovině?

Dosadíme každý bod do výrazu `x-y`:

`\begin{gathered}A:\ 0-2=-2 \\[6pt] B:\ 2-0=2 \\[6pt] M:\ 4-7=-3 \\[6pt] N:\ 5-3=2\end{gathered}`

Body A a M dávají záporné číslo, leží tedy v jedné polorovině. Body B a N dávají kladné číslo a leží v polorovině opačné. Obrázek to potvrzuje: A a M jsou nad přímkou, B a N pod ní.

2 4 2 4 6 x y A[0; 2]M[4; 7]B[2; 0]N[5; 3]x − y < 0x − y > 0np

Proč to funguje. Výraz `ax+by+c` je pro body přímky nulový a při posunu od přímky se mění rovnoměrně: kdo jde po normálovém vektoru `\vec{n}=(a;\ b)`, tomu výraz roste, kdo jde proti němu, tomu klesá. Na jedné straně přímky je proto všude kladný, na druhé všude záporný, a nulou projde jen na přímce samotné. Normálový vektor míří vždy do kladné poloroviny.

Pozor na jednu věc: o tom, která polorovina je „kladná“, rozhoduje zápis rovnice, ne přímka. Přímku p můžeme zapsat i jako `-x+y=0` a pak bod A dá `+2`. Na poloze bodů se nic nezmění, otočí se jen všechna znaménka zároveň. Proto se body vždy porovnávají mezi sebou, se stejně zapsanou rovnicí.

Příklad 2

Přímka prochází body `A[1;\ {-2}]` a `B[3;\ 4]`. Které z bodů `K[-1;\ 5]`, `L[0;\ 1]`, `R[6;\ 2]` leží v polorovině `\mapsto ABK`?

Nejdřív obecná rovnice přímky AB. Směrový vektor je `B-A=(2;\ 6)`, stačí i `(1;\ 3)`, normálový vektor je `(3;\ {-1})`:

`\begin{gathered}3x-y+c=0 \\[6pt] A:\ 3+2+c=0 \ \Rightarrow\ c=-5 \\[6pt] AB:\ 3x-y-5=0\end{gathered}`

Rovnici si můžete nechat vypsat i v kalkulačce přímka ze dvou bodů, která ukáže všechny tvary najednou. Teď dosadíme body:

`\begin{gathered}K:\ 3\cdot(-1)-5-5=-13 \\[6pt] L:\ 3\cdot 0-1-5=-6 \\[6pt] R:\ 3\cdot 6-2-5=11\end{gathered}`

Polorovina `\mapsto ABK` je ta, ve které vychází záporné číslo. Leží v ní bod L (a samozřejmě K), bod R leží v polorovině opačné.

Kontrola od oka: přímka AB stoupá strmě doprava nahoru, K i L jsou vlevo od ní, R vpravo dole.

Polorovina zapsaná nerovnicí

Protože jedna polorovina je „kladná“ a druhá „záporná“, dá se každá polorovina zapsat lineární nerovnicí se dvěma neznámými. Pro přímku `ax+by+c=0` jsou to:

`ax+by+c\ge 0 \quad\text{a}\quad ax+by+c\le 0`

S hraniční přímkou se píše neostrá nerovnost (`\ge`, `\le`), otevřená polorovina má ostrou (`\gt`, `\lt`). Která z těch dvou nerovnic popisuje polorovinu s daným bodem, zjistíme dosazením toho bodu.

Příklad 3

Zapište nerovnicí polorovinu s hraniční přímkou `p:\ 2x+y-4=0`, ve které leží počátek `O[0;\ 0]`.

Dosadíme počátek: `2\cdot 0+0-4=-4`, tedy záporné číslo. Polorovina `\mapsto pO` je

`2x+y-4\le 0`

Zkouška dalším bodem: `[1;\ 1]` dává `2+1-4=-1` a v polorovině leží, `[3;\ 1]` dává `6+1-4=3` a neleží.

2 4 −2 2 4 x y O2x + y − 4 = 02x + y − 4 ≤ 0

Opačně to jde stejně. Kde leží polorovina `3x-2y+6\gt 0`? Dosadíme počátek: `6\gt 0`, takže je to ta strana přímky `3x-2y+6=0`, na které je počátek. Počátek je nejpohodlnější testovací bod; nepoužijete ho jen tehdy, když na hraniční přímce leží (rovnice bez absolutního členu, `c=0`). Pak vezměte třeba `[1;\ 0]`.

Leží bod nad, nebo pod přímkou?

Ve směrnicovém tvaru `y=kx+q` se polorovina dá popsat slovy. Nerovnice `y\gt kx+q` je polorovina nad přímkou, `y\lt kx+q` polorovina pod přímkou. Nerovnice z příkladu 3 je po úpravě `y\le -2x+4`, tedy vše pod přímkou a na ní, jak ukazuje obrázek.

Z obecné rovnice se to pozná podle koeficientu b u y:

Koeficient u `y`Kladný výsledek `ax_0+by_0+c` znamená
`b\gt 0`bod leží nad přímkou
`b\lt 0`bod leží pod přímkou
`b=0` (svislá přímka `x=\text{konst.}`)vpravo od přímky, je-li `a\gt 0`, vlevo, je-li `a\lt 0`

Ověření na příkladu 1: v rovnici `x-y=0` je `b=-1`, takže kladné číslo znamená „pod přímkou“. Body B a N daly kladné číslo a pod přímkou opravdu leží.

Leží bod v úhlu nebo v trojúhelníku?

Konvexní úhel AVB je průnik dvou polorovin: `\mapsto VAB` (hraniční přímka VA, bod B) a `\mapsto VBA`. Bod v úhlu leží, když leží v obou. Trojúhelník je průnik tří polorovin, ke každé straně té, ve které leží protější vrchol. Postup je pokaždé stejný: ke každé hraniční přímce porovnáme znaménko zkoumaného bodu se znaménkem vrcholu, který na ní neleží.

Příklad 4: bod v úhlu

Úhel AVB má vrchol `V[1;\ 1]` a body `A[3;\ 3]`, `B[4;\ 1]` na ramenech. Leží bod `M[3;\ 2]` uvnitř konvexního úhlu AVB?

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 x y VABMNx − y = 0y − 1 = 0

Přímka VA má rovnici `x-y=0`, přímka VB je vodorovná, `y-1=0`. Dosazujeme:

`\begin{gathered}VA:\quad M:\ 3-2=1,\qquad B:\ 4-1=3 \\[6pt] VB:\quad M:\ 2-1=1,\qquad A:\ 3-1=2\end{gathered}`

U přímky VA mají M a B stejné znaménko, u přímky VB mají M a A stejné znaménko. Bod M v úhlu leží.

Pro srovnání bod `N[5;\ 6]`: u přímky VA dává `5-6=-1`, zatímco B dává `3`. Bod N je na druhé straně ramene VA a v úhlu neleží, i když u přímky VB vyjde kladně (`6-1=5`). Stačí jedna nesplněná podmínka.

Příklad 5: bod v trojúhelníku

Trojúhelník má vrcholy `A[1;\ 1]`, `B[4;\ 1]` a `C[1;\ 4]`. Leží v něm bod `M[2;\ 2]`? A bod `K[3;\ 3]`?

1 2 3 4 1 2 3 4 x y ABCMK

Rovnice stran:

`\begin{gathered}AB:\ y-1=0 \\[6pt] AC:\ x-1=0 \\[6pt] BC:\ x+y-5=0\end{gathered}`

Ke každé straně dosadíme protější vrchol a oba zkoumané body:

StranaProtější vrchol`M[2;\ 2]``K[3;\ 3]`
`AB:\ y-1``C:\ 3``1``2`
`AC:\ x-1``B:\ 3``1``2`
`BC:\ x+y-5``A:\ -3``-1``1`

Bod M má u všech tří stran stejné znaménko jako protější vrchol, leží uvnitř trojúhelníku. Bod K splní první dvě podmínky, ale u strany BC má opačné znaménko než vrchol A: leží za stranou BC, mimo trojúhelník.

Kdyby u některé strany vyšla nula, bod leží na přímce té strany. Pokud zároveň splní obě zbylé podmínky, leží přímo na obvodu trojúhelníku, například `[2;\ 3]` dává u BC nulu a u AB, AC kladná čísla.

Znaménko a vzdálenost bodu od přímky

Stejné dosazení je i v čitateli vzorce pro vzdálenost bodu od přímky:

`d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}`

Absolutní hodnota v čitateli zahodí právě to znaménko, které říká, ve které polorovině bod je. Bez ní dostaneme orientovanou vzdálenost: její velikost je vzdálenost a znaménko polorovina. Pro bod `A[0;\ 2]` a přímku `x-y=0` vychází `\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\doteq -1{,}41`, takže bod je od přímky `1{,}41` daleko, a to v záporné polorovině. Kalkulačka vzdálenost bodu od přímky vypisuje číslo „Dosazení do rovnice“ zvlášť, i se znaménkem, takže z ní poznáte obojí.

Vlevo, nebo vpravo od přímky AB?

Někdy nestačí vědět, že dva body jsou na opačných stranách, ale chceme vědět, na které straně: třeba vlevo, nebo vpravo, když jdeme z bodu A do bodu B. Na to slouží determinant

`\begin{aligned}D&=(x_B-x_A)(y_X-y_A)\\[4pt]&\quad-(y_B-y_A)(x_X-x_A)\end{aligned}`

Když je `D\gt 0`, leží bod X vlevo od směru `A\to B`, při `D\lt 0` vpravo, při `D=0` na přímce AB. Je to totéž dosazení do obecné rovnice, jen má rovnice pevně zvolený normálový vektor `(-(y_B-y_A);\ x_B-x_A)`, otočený od směru `A\to B` o `90^\circ` doleva.

Pro body z příkladu 2 vyjde `D_K=2\cdot 7-6\cdot(-2)=26`, `D_L=2\cdot 3-6\cdot(-1)=12` a `D_R=2\cdot 4-6\cdot 5=-22`: body K a L jsou vlevo od cesty z A do B, bod R vpravo. Tenhle test používají počítačové programy, které kreslí grafiku nebo hledají, ve kterém trojúhelníku sítě leží bod: bod leží uvnitř trojúhelníku ABC, když mají determinanty pro AB, BC a CA všechny stejné znaménko.

Z toho plyne i test, zda je mnohoúhelník konvexní: je to tak právě tehdy, když ke každé jeho straně leží všechny ostatní vrcholy v jedné polorovině. Stačí tedy pro každou stranu dosadit zbylé vrcholy a hlídat, aby znaménko nikde nepřeskočilo.

Časté chyby

  • Kladná polorovina „sama o sobě“. Znaménko závisí na tom, jak je rovnice zapsaná. `x-y=0` a `-x+y=0` je tatáž přímka s opačnými znaménky. Rozhoduje porovnání dvou bodů, nebo pravidlo s koeficientem b z tabulky výše.
  • Psát dosazení jako rovnici. Zápis „`0-2=0`“ je nepravdivá rovnost. Počítáme hodnotu výrazu, `0-2=-2`, a ta nás zajímá.
  • Rovnice, která není v obecném tvaru. U `y=2x+1` je potřeba všechno převést na jednu stranu, `2x-y+1=0` (nebo `y-2x-1=0`), a pro všechny body pak dosazovat do stejného výrazu.
  • Porovnání se špatným vrcholem. V trojúhelníku se ke straně BC porovnává vrchol A. Vrcholy B a C na té přímce leží a dají nulu, s tou se porovnat nedá.
  • Zapomenutá hraniční přímka. Polorovina s hraniční přímkou se zapisuje `\ge` nebo `\le`. Ostrá nerovnost popisuje otevřenou polorovinu bez přímky.
  • Testovací bod na přímce. Počátek nejde použít pro přímku `x-y=0`, dává nulu. Vezměte jiný bod.

Příklady k procvičení

1. Leží body `A[3;\ 1]` a `B[-2;\ 4]` ve stejné polorovině vzhledem k přímce `p:\ 2x-3y+1=0`?

2. Zapište nerovnicí polorovinu `\mapsto pA` pro přímku `p:\ x+2y-6=0` a bod `A[1;\ 1]`. Leží v ní bod `[4;\ 2]`?

3. Přímka prochází body `P[-1;\ 2]` a `Q[3;\ 0]`. Leží bod `R[1;\ 3]` nad touto přímkou, nebo pod ní?

4. Trojúhelník má vrcholy `A[0;\ 0]`, `B[5;\ 1]` a `C[1;\ 4]`. Který z bodů `M[2;\ 1]` a `N[4;\ 3]` leží uvnitř trojúhelníku?

5. Pro která čísla `m` leží bod `[m;\ 2]` ve stejné polorovině vzhledem k přímce `3x-y+1=0` jako počátek?

6. Na mapě obce, kde jedna jednotka znamená 100 m, vede rovná silnice po přímce `x+y-10=0`. Kostel stojí v bodě `K[2;\ 3]`, škola v bodě `S[4;\ 5]` a hasičská zbrojnice v bodě `Z[7;\ 6]`. Které budovy jsou na stejné straně silnice jako kostel? Jak daleko je škola od silnice?

Kam dál